📝 Rédiger une démonstration
Prouver qu'une affirmation est vraie, avec les données de l'énoncé et les propriétés du cours.
1 Pourquoi démontrer ?
Une figure peut tromper : mesurer ou « voir » ne prouve rien. Une démonstration part de ce que l'on sait (les données de l'énoncé, le codage de la figure) et utilise une propriété du cours pour arriver à une conclusion certaine.
2 La structure en trois étapes
| Étape | Ce que j'écris |
|---|---|
| Je sais que | les données utiles, prises dans l'énoncé ou sur la figure codée |
| Or | la propriété du cours, sous la forme « Si …, alors … » |
| Donc | la conclusion : ce que l'on voulait prouver |
Le « Si » de la propriété doit correspondre à mes données, et son « alors » à ma conclusion.
3 Exemples rédigés
Les droites (d₁) et (d₂) sont perpendiculaires à la droite (d). Prouver que (d₁) et (d₂) sont parallèles.
Je sais que (d₁) ⊥ (d) et (d₂) ⊥ (d).
Or si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.
Donc (d₁) // (d₂).
Les diagonales [AC] et [BD] du quadrilatère ABCD se coupent en leur milieu O. Prouver que ABCD est un parallélogramme.
Je sais que les diagonales [AC] et [BD] de ABCD se coupent en leur milieu.
Or si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme.
Donc ABCD est un parallélogramme.
Dans le triangle ABC, AB = 6 cm, AC = 8 cm et BC = 10 cm. Le triangle ABC est-il rectangle ?
Je sais que [BC] est le plus grand côté. D'une part BC² = 10² = 100 ; d'autre part AB² + AC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Donc BC² = AB² + AC².
Or d'après la réciproque du théorème de Pythagore, si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.
Donc ABC est rectangle en A (le sommet opposé au plus grand côté).
4 Choisir le bon outil
| Je veux… | Outils possibles |
|---|---|
| prouver que deux droites sont parallèles | deux droites perpendiculaires à une même droite · côtés opposés d'un parallélogramme · réciproque de Thalès (3e) |
| prouver un angle droit (droites perpendiculaires) | réciproque de Pythagore · diagonales d'un losange · angles d'un rectangle · médiatrice |
| calculer une longueur | Pythagore (triangle rectangle) · Thalès (droites parallèles) · trigonométrie (triangle rectangle et un angle) |
| calculer un angle | somme des angles d'un triangle = 180° · angles complémentaires ou supplémentaires · trigonométrie |
| trouver la nature d'un quadrilatère | propriétés du parallélogramme, du rectangle, du losange, du carré |
- Utiliser ce qu'on veut prouver comme une donnée : on ne peut pas écrire « Je sais que (d₁) // (d₂) » si c'est la question.
- Prendre la propriété à l'envers : le « Si » doit être ce que je sais, le « alors » ce que je cherche.
- Confondre théorème et réciproque. Pythagore : si le triangle est rectangle, alors l'égalité est vraie (pour calculer une longueur). Réciproque : si l'égalité est vraie, alors le triangle est rectangle (pour prouver un angle droit).
- Je repère ce que je sais et ce que je veux prouver.
- Je choisis une propriété « Si [ce que je sais], alors [ce que je veux] ».
- J'écris : Je sais que… Or… Donc…