📈 Les fonctions
4e3e
Une fonction est une « machine » : on lui donne un nombre, elle en renvoie un autre.
1 Qu'est-ce qu'une fonction ?
La règle
Une fonction f associe à chaque nombre 𝑥 un seul nombre, noté f(𝑥) (« f de 𝑥 »).
On l'écrit f : 𝑥 ↦ 3𝑥 − 1 ou f(𝑥) = 3𝑥 − 1.
2 Image et antécédent
Le vocabulaire
- Si f(2) = 5, on dit que 5 est l'image de 2 par f,
- et que 2 est un antécédent de 5 par f.
Pour s'en souvenir : on part de l'antécédent (𝑥) et on arrive à l'image (f(𝑥)).
Exemples avec f(𝑥) = 3𝑥 − 1
- Image de 2 : je remplace 𝑥 par 2. f(2) = 3 × 2 − 1 = 5.
- Antécédent de 11 : je cherche 𝑥 tel que f(𝑥) = 11, donc je résous 3𝑥 − 1 = 11, soit 3𝑥 = 12 et 𝑥 = 4. Vérification : f(4) = 12 − 1 = 11 ✔
⚠️ Le piège
Un nombre a une seule image, mais il peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun. Avec g(𝑥) = 𝑥², les antécédents de 9 sont 3 et −3 (car 3² = 9 et (−3)² = 9), et −4 n'a aucun antécédent.
3 Trois façons de décrire une fonction
La même fonction f(𝑥) = 2𝑥 + 1
Par une formule : f(𝑥) = 2𝑥 + 1.
Par un tableau de valeurs :
| 𝑥 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(𝑥) | −1 | 1 | 3 | 5 | 7 |
Par un graphique : chaque point de la courbe a pour coordonnées (𝑥 ; f(𝑥)).
Lire un graphique
- Image de 2 : je pars de 2 sur l'axe des abscisses (horizontal), je monte jusqu'à la courbe, puis je lis l'ordonnée : 5.
- Antécédent(s) de 5 : je pars de 5 sur l'axe des ordonnées (vertical), je vais jusqu'à la courbe, puis je lis l'abscisse : 2.
4 Fonctions linéaires et affines (3e)
La règle
| Linéaire | Affine | |
|---|---|---|
| Formule | f(𝑥) = a𝑥 | f(𝑥) = a𝑥 + b |
| Graphique | une droite qui passe par l'origine | une droite |
| À retenir | traduit une situation de proportionnalité | a = coefficient directeur, b = ordonnée à l'origine |
- a : quand 𝑥 augmente de 1, f(𝑥) augmente de a (la « pente »).
- b : c'est f(0), là où la droite coupe l'axe des ordonnées.
Retrouver a et b à partir de deux valeurs
On sait que f est affine, f(1) = 5 et f(4) = 11.
a = (11 − 5) ÷ (4 − 1) = 6 ÷ 3 = 2, puis b = f(1) − a × 1 = 5 − 2 = 3. Donc f(𝑥) = 2𝑥 + 3.
✅ Je retiens
- Image : je remplace 𝑥 par le nombre. Antécédent : je résous f(𝑥) = le nombre.
- Un point de la courbe = (𝑥 ; f(𝑥)) : l'abscisse est l'antécédent, l'ordonnée l'image.
- Linéaire f(𝑥) = a𝑥 (droite par l'origine) ; affine f(𝑥) = a𝑥 + b (b = f(0)).