⚖️ Inégalités et inéquations
4e3e
Comme une équation, mais avec <, >, ≤ ou ≥ : il y a en général une infinité de solutions.
1 Les symboles
La règle
| Symbole | Se lit | Exemple |
|---|---|---|
| < | strictement inférieur à | 3 < 5 |
| > | strictement supérieur à | 7 > 2 |
| ≤ | inférieur ou égal à | 4 ≤ 4 et 3 ≤ 4 |
| ≥ | supérieur ou égal à | 6 ≥ 6 et 9 ≥ 6 |
2 Tester si un nombre est solution
Exemple avec 2𝑥 + 3 < 11
- Pour 𝑥 = 3 : 2 × 3 + 3 = 9, et 9 < 11 est vrai → 3 est solution.
- Pour 𝑥 = 5 : 2 × 5 + 3 = 13, et 13 < 11 est faux → 5 n'est pas solution.
3 Résoudre une inéquation
Les règles
- J'ajoute ou je soustrais un même nombre des deux côtés : le sens ne change pas.
- Je multiplie ou je divise les deux côtés par un nombre positif : le sens ne change pas.
- Je multiplie ou je divise par un nombre négatif : le sens change (< devient >, ≤ devient ≥).
Exemples
2𝑥 + 3 < 11 → 2𝑥 < 8 (je soustrais 3) → 𝑥 < 4 (je divise par 2, positif).
5𝑥 − 2 > 3𝑥 + 6 → 2𝑥 − 2 > 6 (je soustrais 3𝑥) → 2𝑥 > 8 → 𝑥 > 4.
−3𝑥 ≥ 12 → je divise par −3, négatif, donc le sens change : 𝑥 ≤ −4.
Vérification avec 𝑥 = −5 : −3 × (−5) = 15, et 15 ≥ 12 ✔ ; avec 𝑥 = 0 : 0 ≥ 12 ✘.
⚠️ Deux pièges
- Oublier de changer le sens en divisant par un nombre négatif : −3𝑥 ≥ 12 donne 𝑥 ≤ −4, pas 𝑥 ≥ −4.
- Croire qu'il n'y a qu'une solution : 𝑥 < 4 est vrai pour 3, mais aussi pour 3,9, 0, −100… Il y en a une infinité.
4 Représenter les solutions
Sur une droite graduée
- La partie colorée représente les solutions.
- Avec < ou >, le nombre est exclu : le crochet est tourné vers l'extérieur (4 n'est pas solution de 𝑥 < 4).
- Avec ≤ ou ≥, le nombre est inclus : le crochet est tourné vers les solutions (−4 est solution de 𝑥 ≤ −4).
5 Résolution graphique (3e)
La méthode
- Résoudre f(𝑥) < 3 : je cherche les abscisses des points de la courbe de f situés sous la droite horizontale y = 3.
- Résoudre f(𝑥) > g(𝑥) : je cherche les abscisses où la courbe de f est au-dessus de celle de g.
✅ Je retiens
- Je résous comme une équation… sauf qu'en multipliant ou divisant par un négatif, je change le sens.
- Je vérifie avec une valeur : elle doit rendre l'inégalité vraie.
- Crochet vers l'extérieur : nombre exclu (<, >) ; vers les solutions : nombre inclus (≤, ≥).