⚡ Les puissances
Une écriture courte pour un produit de facteurs tous égaux.
1 Définition
an = a × a × … × a avec n facteurs égaux à a. On lit « a puissance n » ; n est l'exposant.
- a2 se lit « a au carré », a3 « a au cube ».
- a1 = a et a0 = 1 (pour a ≠ 0).
- 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
- 132 = 13 × 13 = 169 ; 43 = 4 × 4 × 4 = 64
23 n'est pas 2 × 3 = 6 : c'est 2 × 2 × 2 = 8. L'exposant compte les facteurs, on ne multiplie pas par lui.
2 Exposant négatif
a−n = 1 / an (pour a ≠ 0) : c'est l'inverse de an.
2−3 = 1 / 23 = 1/8 = 0,125
3 Les puissances de 10
- 10n s'écrit avec un 1 suivi de n zéros : 105 = 100 000.
- 10−n s'écrit avec n chiffres après la virgule, le dernier étant 1 : 10−3 = 0,001.
4 Calculer avec des puissances d'un même nombre
- Produit : am × an = am+n (on ajoute les exposants).
- Quotient : am ÷ an = am−n (on soustrait les exposants).
- 32 × 36 = 38 (car 2 + 6 = 8)
- 29 ÷ 25 = 24 = 16 (car 9 − 5 = 4)
- 103 × 10−5 = 10−2 = 0,01
Ces règles ne marchent qu'avec la même base : on ne peut pas simplifier 23 × 52 de cette façon. Et on n'additionne jamais les exposants d'une somme : 23 + 22 = 8 + 4 = 12, pas 25.
5 L'écriture scientifique
Un nombre est en écriture scientifique quand il s'écrit a × 10n avec 1 ≤ a < 10 (un seul chiffre, différent de 0, avant la virgule).
- 45 000 = 4,5 × 104
- 0,0032 = 3,2 × 10−3
- Dans l'autre sens : 7 × 102 = 700
45 × 103 est égal à 45 000, mais ce n'est pas une écriture scientifique : 45 n'est pas entre 1 et 10. On écrit 4,5 × 104.
- an = n facteurs égaux à a ; a−n = 1/an.
- Même base : × → j'ajoute les exposants ; ÷ → je les soustrais.
- Écriture scientifique : a × 10n avec 1 ≤ a < 10.