📐 Le théorème de Thalès
Deux droites parallèles coupent deux droites sécantes : les longueurs sont proportionnelles.
1 La configuration
M est sur la droite (AB), N est sur la droite (AC), et (MN) est parallèle à (BC). Le petit triangle AMN est une réduction du grand triangle ABC.
2 Le théorème
Si les points A, M, B et A, N, C sont alignés et si (MN) // (BC), alors :
AM / AB = AN / AC = MN / BC
Chaque rapport est « côté du petit triangle / côté correspondant du grand triangle ».
3 Calculer une longueur
On sait que AM = 3 cm, AB = 5 cm et BC = 8 cm. On cherche MN.
Les points A, M, B et A, N, C sont alignés, et (MN) // (BC). D'après le théorème de Thalès :
AM / AB = AN / AC = MN / BC, donc 3 / 5 = MN / 8
Par produit en croix : MN = 8 × 3 ÷ 5 = 4,8 cm.
- Toujours partir du sommet commun A : le rapport est AM / AB, pas AM / MB.
- Bien associer les côtés qui se correspondent : MN (petit triangle) va avec BC (grand triangle), les deux côtés parallèles.
4 La réciproque (3e) : prouver que deux droites sont parallèles
Si les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre et si AM / AB = AN / AC, alors (MN) // (BC).
Si les deux rapports sont différents, les droites ne sont pas parallèles.
AM = 2, AB = 5, AN = 3, AC = 7,5. On calcule séparément : AM / AB = 2 ÷ 5 = 0,4 et AN / AC = 3 ÷ 7,5 = 0,4.
Les rapports sont égaux et les points sont dans le même ordre, donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, (MN) // (BC).
- Thalès : deux droites parallèles → j'écris l'égalité des trois rapports, puis un produit en croix.
- Les rapports partent du sommet commun : petit triangle / grand triangle.
- Réciproque : je calcule les deux rapports séparément ; égaux → parallèles.